Circunscripcion

Tecnicas Combinatorias

Sistema de Ecuaciones

Teorìa Combinatoria

Teoría Combinatoria

Principio de conteo.
A menudo se presenta la necesidad de calcular el numero de maneras distintas en que un suceso se presenta o puede ser realizado. Otras veces es importante determinar la probabilidad de ocurrencia de un evento específico. En ambos casos se apela bien al sentido común, o se establecen métodos que permitan sistematizar tales cálculos. Con frecuencia el sentido común ayuda a entender por qué se eligió un procedimiento dado, mientras que la formalización del calculo refuerza las vías para encontrar las soluciones apropiadas.
Principio aditivo de conteo: Sean A y B dos sucesos que no pueden ocurrir simultáneamente. Si A ocurre de a maneras distintas y B ocurre de b maneras distintas, el numero de maneras en el cual puede ocurrir A o B es A +B.

Variaciones

Variaciones.
Consideremos cuatro elementos, A, B, C Y D, veamos cuántas agrupaciones pueden formarse si se toman dichos elementos uno, dos tres y cuatro a la vez.
Al número de elementos, en este caso 4, lo denotamos por la letra m (m =4).
a. Si se toma un elemento a la vez, el número de agrupaciones que se puede formar es 4:

A B C D
Se dice que se han formado las variaciones de 4 elementos tomados de uno en uno, lo cual se representa como V4.1 . Se puede observar que:

V4.1 = 4

b. Si se toman dos elementos a la vez, se tienen las siguientes agrupaciones:

AB
AC
AD

BA
BC
BD

CA
CB
CD

DA
DB
DC

Se han formado así las variaciones de 4 elementos tomados de dos en dos, entonces:
Observa que: V4.2 = 12
V4.2 = V4.1 . (4 - 1)
V4.2 =4 . (4 - 1) = 4. 3 =12


c. Si se toman 3 elementos de los 4, obtenemos las siguientes agrupaciones:

ABC
ABD
ACB
ACD
ADB
ADC


BAC
BAD
BCA
BCD
BDA
BDC



CAB
CAD
CBA
CBD
CDA
CDB


DAB
DAC
DBA
DBC
DCA
DCB

El número de agrupaciones es:


V4.3 = V4.2 . (4 - 2)
V4.3 = 4 . (4 -1) . (4 - 2) = 24


En general, para m elementos podemos escribir:
Vm,1 = m
Vm2 = m (m - 1)
Vm,3= m (m-1) (m - 2)
Vm,n= m (m - 1) (m - 2) … (m – n + 1) Vm,n = Vm,(n -1) . (m – n + 1)

Es importante notar lo siguiente, que en el caso de variaciones de m elementos tomados de n en n:
a. De los m elementos, sólo n intervienen en las agrupaciones.
b. Las agrupaciones de n elementos son distintas si difieren en el orden de colocación.



Ejemplo .

Determina:
a) V7,3 b) V X + 1 ,1

Solución.

a) V7,3 = 7! = 4!5.6.7 = 210

(7 - 3) 4!


b) V X + 1,1 = (X + 1)! = X! (X + 1) = X + 1

(X + 1 - 1)! X!

Permutaciones

Pemutaciones.
Supongamos que tenemos los objetos distintos, a, b y c y que queremos saber de cuántas maneras distintas se pueden agrupar tomados tres a la vez. El primer elemento seleccionado puede ser a, b o c y, por tanto, tenemos 3 maneras distintas de seleccionar el primer elemento. Una vez seleccionado el primer elemento, tenemos dos elementos para escoger, es decir dos maneras distintas de seleccionar el segundo elemento. Finalmente, una vez seleccionado el primero y el segundo elemento, sólo queda uno y, por tanto una sola manera de seleccionar el tercer elemento. En definitiva, hay :
3 • 2 • 1 = 6 maneras distintas de agrupar los 3 elementos.