Variaciones

Variaciones.
Consideremos cuatro elementos, A, B, C Y D, veamos cuántas agrupaciones pueden formarse si se toman dichos elementos uno, dos tres y cuatro a la vez.
Al número de elementos, en este caso 4, lo denotamos por la letra m (m =4).
a. Si se toma un elemento a la vez, el número de agrupaciones que se puede formar es 4:

A B C D
Se dice que se han formado las variaciones de 4 elementos tomados de uno en uno, lo cual se representa como V4.1 . Se puede observar que:

V4.1 = 4

b. Si se toman dos elementos a la vez, se tienen las siguientes agrupaciones:

AB
AC
AD

BA
BC
BD

CA
CB
CD

DA
DB
DC

Se han formado así las variaciones de 4 elementos tomados de dos en dos, entonces:
Observa que: V4.2 = 12
V4.2 = V4.1 . (4 - 1)
V4.2 =4 . (4 - 1) = 4. 3 =12


c. Si se toman 3 elementos de los 4, obtenemos las siguientes agrupaciones:

ABC
ABD
ACB
ACD
ADB
ADC


BAC
BAD
BCA
BCD
BDA
BDC



CAB
CAD
CBA
CBD
CDA
CDB


DAB
DAC
DBA
DBC
DCA
DCB

El número de agrupaciones es:


V4.3 = V4.2 . (4 - 2)
V4.3 = 4 . (4 -1) . (4 - 2) = 24


En general, para m elementos podemos escribir:
Vm,1 = m
Vm2 = m (m - 1)
Vm,3= m (m-1) (m - 2)
Vm,n= m (m - 1) (m - 2) … (m – n + 1) Vm,n = Vm,(n -1) . (m – n + 1)

Es importante notar lo siguiente, que en el caso de variaciones de m elementos tomados de n en n:
a. De los m elementos, sólo n intervienen en las agrupaciones.
b. Las agrupaciones de n elementos son distintas si difieren en el orden de colocación.



Ejemplo .

Determina:
a) V7,3 b) V X + 1 ,1

Solución.

a) V7,3 = 7! = 4!5.6.7 = 210

(7 - 3) 4!


b) V X + 1,1 = (X + 1)! = X! (X + 1) = X + 1

(X + 1 - 1)! X!